২০তম অধ্যায়, এবিসি অনুমান

পড়াশোনার ফাঁকে তিনি সুযোগ পেলেই ‘মা-র গণিত বিশ্লেষণ ১.০’ সফটওয়্যারের সংকলন উন্নত করছিলেন। তিনি ঠিক করেছিলেন, স্নাতক শেষ করার আগে এই অভূতপূর্ব সফটওয়্যার ব্যবহার করে আরেকটি কঠিন গণিত সমস্যা সমাধান করবেন, অর্থাৎ ‘এবিসি অনুমান’ প্রমাণ করবেন।

কেবল একটি অনুমান প্রমাণ করলেই সবাই তাকে প্রতিভাবান ভাববে, কিন্তু আরও একটি জটিল গণিত সমস্যা সমাধান করে এবং তার নতুন গণিত কাঠামোর সত্যতা প্রতিষ্ঠা করতে পারলে, তবেই বিশ্বব্যাপী বিদ্বৎসমাজের কাছে গণিতের বিশাল ব্যক্তিত্ব হিসেবে স্বীকৃতি পাওয়া যাবে।

‘এবিসি অনুমান’ সংখ্যা তত্ত্বের এক গুরুত্বপূর্ণ অনুমান, যা জোসেফ অস্টারলি ও ডেভিড ম্যাসার ১৯৮৫ সালে উত্থাপন করেছিলেন। তাই একে ‘অস্টারলি-ম্যাসার অনুমান’ও বলা হয়।

গণিতবিদ গল্ডফেল্ড বলেছিলেন, ‘‘এবিসি অনুমান হল ডিওফান্টাইন সমীকরণের অমীমাংসিত সমস্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।’’

সাধারণত সংখ্যা তত্ত্বের অনুমানগুলি বেশ নির্ভুল ও সরল ভাষায় প্রকাশ করা যায়।

যেমন, অ্যান্ড্রু ওয়াইলসের দ্বারা প্রমাণিত ‘ফার্মার শেষ উপপাদ্য’ সহজেই বলা যায়: যখন পূর্ণসংখ্যা n > ২, তখন x, y, z-এর সমীকরণ x^n + y^n = z^n-এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সমাধান নেই।

আবার, মা-র দ্বারা প্রমাণিত ‘গোল্ডবাখ অনুমান’ও একবাক্যে বোঝানো যায়: যেকোনো ২-এর বেশি জোড়া সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল।

কিন্তু ‘এবিসি অনুমান’ এই সরলতার ব্যতিক্রম।

এটি বোঝা বেশ বিমূর্ত।

সামান্যভাবে বলা যায়, তিনটি সংখ্যা—a, b এবং c = a + b—যদি একে অপরের সঙ্গে সহমৌলিক হয় (অর্থাৎ তাদের কোনো সাধারণ গুণিত মৌলিক সংখ্যা নেই), তাহলে a, b, c-এর সব অনন্য মৌলিক গুণিতাংশের গুণফল d সাধারণত c-এর চেয়ে বড় হবে।

উদাহরণস্বরূপ: a = ২, b = ৭, c = a + b = ৯ = ৩ × ৩।

তিনটি সংখ্যা সহমৌলিক; অনন্য মৌলিক গুণিতাংশের গুণফল d = ২ × ৭ × ৩ = ৪২ > c = ৯।

আরও কিছু সংখ্যা নিয়ে পরীক্ষা করা যায়, যেমন: ৩ + ৭ = ১০, ৪ + ১১ = ১৫—সবই এই নিয়ম মেনে চলে।

তবে, এই নিয়ম শুধু দেখায়, আসলে এর বিপরীত উদাহরণও আছে!

নেদারল্যান্ডের লেইডেন বিশ্ববিদ্যালয়ের ABC@home ওয়েবসাইট BOINC-এর ভিত্তিতে বিতরণকৃত গণনাপদ্ধতিতে এসব বিপরীত উদাহরণ খুঁজছে। এর একটি উদাহরণ ৩ + ১২৫ = ১২৮: ১২৫ = ৫^৩, ১২৮ = ২^৭, অনন্য মৌলিক গুণিতাংশের গুণফল ৩ × ৫ × ২ = ৩০; অথচ ১২৮ > ৩০।

এমন বিপরীত উদাহরণ অসীম সংখ্যায় পাওয়া যায়।

তাই বলা যায়, d ‘সাধারণত’ c-এর চেয়ে ‘খুব বেশি ছোট’ নয়।

‘খুব বেশি ছোট নয়’ বলতে কি বোঝায়? যদি d-কে সামান্য বাড়িয়ে d^(১+ε) করা হয়, তবু নিশ্চিত করা যায় না যে তা c-এর চেয়ে বড় হবে—তবে বিপরীত উদাহরণের সংখ্যা অসীম থেকে সীমিত হয়ে যায়।

এটাই এবিসি অনুমানের মূল বক্তব্য।

এবিসি অনুমান কেবল যোগ (দুটি সংখ্যার যোগফল) নয়, গুণ (মৌলিক গুণিতাংশের গুণফল) এবং শক্ত (১+ε ঘাত) যুক্ত করে, এবং তার ওপর বিপরীত উদাহরণও রয়েছে।

এ জন্যই এই অনুমানটির জটিলতা সহজেই অনুমেয়।

আসলে, অব্যাখ্যাত বহু শাখার সংযোগ ঘটানো ‘রিমান অনুমান’ বাদে, আর কোনো সংখ্যা তত্ত্বের অনুমান—গোল্ডবাখ অনুমান, যমজ মৌলিক সংখ্যা অনুমান, এমনকি ফার্মার শেষ উপপাদ্যও—এবিসি অনুমানের মতো গুরুত্বপূর্ণ নয়।

কেন এমনটা?

প্রথমত, এবিসি অনুমান সংখ্যা তত্ত্ববিদদের কাছে প্রতিনিয়ত বিপরীতধর্মী।

ইতিহাসে অনেক বিপরীতধর্মী ধারণা সত্য প্রমাণিত হয়ে বিজ্ঞানকে বদলে দিয়েছে।

একটি সহজ উদাহরণ: নিউটনের জড়তা সূত্র—যদি কোনো বস্তুর ওপর বাহ্যিক বল না পড়ে, তা তার বর্তমান গতিবিধি বজায় রাখে। ১৭ শতকে এটি ছিল চিন্তায় এক ধাক্কা।

তৎকালীন সাধারণ মানুষ দৈনিক অভিজ্ঞতায় বিশ্বাস করত, বস্তু বল না পেলে চলাচল থেমে যায়।

আজকের দিনে, যখন কেউ জানে ঘর্ষণবল আছে, তখন এই ধারণা শিশুসুলভ মনে হয়।

তবে সেই সময়ের মানুষের কাছে জড়তা সূত্র ছিল সাধারণ বোধের বিরুদ্ধে।

এবিসি অনুমান এখনকার সংখ্যা তত্ত্ববিদদের কাছে যেমন, নিউটনের জড়তা সূত্র ছিল তৎকালীন সাধারণ মানুষের কাছে—গণিতের প্রচলিত ধারণার বিরুদ্ধে।

এই প্রচলিত ধারণা হল: ‘‘a ও b-এর মৌলিক গুণিতাংশের সঙ্গে তাদের যোগফলের মৌলিক গুণিতাংশের কোনো সম্পর্ক নেই।’’

কারণ, যোগ ও গুণের আলজেব্রিক সংযোগে অসীম সম্ভাবনা ও অমীমাংসিত সমস্যা জন্ম নেয়—যেমন ডিওফান্টাইন সমীকরণে統一 কৌশলের হিলবার্টের দশম সমস্যা, যা প্রমাণিত হয়েছে অসম্ভব।

যদি এবিসি অনুমান সত্য প্রমাণিত হয়, তাহলে যোগ, গুণ ও মৌলিক সংখ্যার মধ্যে এমন এক রহস্যময় সংযোগের অস্তিত্ব থাকবে, যা মানবজাতির জানা কোনো গণিত তত্ত্ব স্পর্শ করেনি।

আরও, এবিসি অনুমান বহু অমীমাংসিত সংখ্যা তত্ত্বের সমস্যার সঙ্গে গভীরভাবে যুক্ত।

যেমন, ডিওফান্টাইন সমীকরণ, ফার্মার শেষ উপপাদ্যের সম্প্রসারিত অনুমান, মর্ডেল অনুমান, এরডস-উডস অনুমান ইত্যাদি।

এবিসি অনুমান থেকে অনেক গুরুত্বপূর্ণ, ইতিমধ্যে প্রমাণিত ফলাফলও উত্তোলন করা যায়—যেমন, ফার্মার শেষ উপপাদ্য।

এই দিক থেকে, এবিসি অনুমান হল মৌলিক সংখ্যা গঠনের অজানা মহাবিশ্বের শক্তিশালী অনুসন্ধান যন্ত্র, রিমান অনুমান বাদে।

এবিসি অনুমান প্রমাণিত হলে, সংখ্যা তত্ত্বে তা এমন বিপ্লব ঘটাবে, যেমন আপেক্ষিকতা ও কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের ভিত্তি।

এবিসি অনুমান সমাধান করতে হলে, একটি চাবি খুঁজতে হবে। বিভিন্ন তথ্য-উপাত্ত ঘেঁটে মা নিশ্চিত করলেন, দূর আবেলীয় জ্যামিতিই এবিসি অনুমান উন্মোচনের পথ।

দূর আবেলীয় জ্যামিতি তৈরি করেছিলেন আলজেব্রিক জ্যামিতির পোপ গ্রোটেনডিক, বিংশ শতকের আশির দশকে। এটি গণিতের এক নবীন শাখা।

এই শাখা বিভিন্ন জ্যামিতিক বস্তুতে আলজেব্রিক ক্লাস্টারের মৌলিক গোষ্ঠীর কাঠামোগত সাদৃশ্য অনুসন্ধান করে।

আধুনিক বিশ্লেষণবিদ্যার জনক বানাখ বলেছিলেন, ‘‘গণিতবিদরা উপপাদ্যের মধ্যে সাদৃশ্য খুঁজে পান, উৎকৃষ্ট গণিতবিদরা প্রমাণের মধ্যে সাদৃশ্য দেখেন, শ্রেষ্ঠ গণিতবিদরা গণিতের শাখাগুলির মধ্যে সাদৃশ্য অনুভব করেন। শেষত, পরম গণিতবিদরা এসব সাদৃশ্যের মধ্যে সাদৃশ্য দেখতে পারেন।’’

গ্রোটেনডিক—তিনিই প্রকৃত অর্থে পরম গণিতবিদ, দূর আবেলীয় জ্যামিতি হলো ‘সাদৃশ্যের সাদৃশ্য’ নিয়ে গবেষণা করা শাখা।

গণিতজগতে প্রচলিত আছে: আইনস্টাইন পদার্থবিজ্ঞানে যতটা গুরুত্বপূর্ণ, গ্রোটেনডিক গণিতের জন্য ততটাই।

আধুনিক আলজেব্রিক জ্যামিতিতে গ্রোটেনডিক নিঃসন্দেহে পোপ।

গ্রোটেনডিকের গণিত বরাবরই কঠিন, কারণ তিনি কখনো নির্দিষ্ট উদাহরণে মন দেননি, বরং সর্বাধিক বিমূর্ত চিন্তা থেকে কোনো সমস্যার গভীরে থাকা বিশাল কাঠামো অনুধাবন করেছেন।

দূর আবেলীয় জ্যামিতি তার ‘প্রোগ্রাম খসড়া’-তে রেখে গেছেন একটি মহাকাঠামো, কিন্তু দুঃখজনকভাবে, তিনি আর সময় পাননি তা বিকশিত করতে; বিংশ শতাব্দীর শ্রেষ্ঠ গণিতবিদ নিঃসঙ্গ অবস্থায় দুনিয়া ছেড়েছেন।

এরপর মা সম্পূর্ণ মনোযোগ দিলেন দূর আবেলীয় জ্যামিতি ও সাধারণীতাইসিমিলার জ্যামিতি নিয়ে গবেষণায়।

এই তত্ত্ব অত্যন্ত বিমূর্ত ও দুরূহ, বোঝা কঠিন; মা অনুভব করতে পারলেন, এর অন্তরে বিশাল গণিত কাঠামো লুকিয়ে আছে।

তিনি দিনরাত কম্পিউটার দিয়ে বিশ্লেষণ চালালেন। এসব বিশ্লেষণের মাধ্যমে দূর আবেলীয় জ্যামিতির বোঝাপড়া গভীর হল।

একটা বিষয় নিশ্চিত, দূর আবেলীয় জ্যামিতি দিয়ে যোগ ও গুণ কাঠামোর সাদৃশ্য প্রকাশ করা যায়, আর এবিসি অনুমানের মূলও এখানেই।

তবে মা মনে করছেন, বিদ্যমান দূর আবেলীয় জ্যামিতির কাঠামো দিয়ে এই সমস্যা সমাধান কঠিন।

নতুন কিছু সংযোজন করতে হবে।

এবিসি অনুমান প্রমাণ করতে হলে, নতুন একটি তত্ত্ব নির্মাণ করতে হবে।

এই কাজ আরও কঠিন, কারণ গণিতের কোনো অনুমান ভাঙা সহজ, কিন্তু নতুন একটি কাঠামো সৃষ্টি করা অত্যন্ত কঠিন।

নতুন গণিত কাঠামো নির্মাতা প্রায়ই নিজস্ব মতবাদ প্রতিষ্ঠাকারী মহাগুরু।

যেমন, গোষ্ঠী তত্ত্বের জনক গ্যালোয়া—যিনি মাত্র ২১ বছর বয়সে মৃত্যুবরণ করেন, কিন্তু ইতিহাসের শ্রেষ্ঠ গণিতবিদের যে কোনো তালিকায় তিনি প্রথম পাঁচে, বা তিনে।

আবার, আধুনিক আলজেব্রিক জ্যামিতির ভিত্তি স্থাপনকারী গ্রোটেনডিক—EGA, SGA, FGA—হাজার হাজার পৃষ্ঠার অমর কীর্তি, আলজেব্রিক জ্যামিতির নতুন প্রাণ দেয়, তার ছাত্র পিয়ের দেলিনে শেষ পর্যন্ত ওয়েই অনুমান সম্পূর্ণ প্রমাণ করেন, যা বিশ শতকের বিশুদ্ধ গণিতের অন্যতম শ্রেষ্ঠ অর্জন।

কম্পিউটার দ্রুত বিশ্লেষণ চালিয়ে যাচ্ছিল, সফটওয়্যার দিয়ে সংখ্যার মডেল গড়ে উঠছিল, হঠাৎই একটি ফাঁক তৈরি হল, মা-র দৃষ্টি উজ্জ্বল হয়ে উঠল।

তিনি অবশেষে সংখ্যা তত্ত্বের মহাবিশ্বের কিনারে পৌঁছালেন।

শক্ত বরফের স্তর ভেঙে গলে যেতে লাগল, বরফের নিচে লুকানো মৌলিক সংখ্যার গভীর কাঠামো ভেসে উঠল।

দূর আবেলীয় জ্যামিতির কাঠামো তিনি সম্পূর্ণভাবে ভেঙে ও পুনর্গঠন করলেন; এক নতুন গণিত তত্ত্ব গড়ে উঠতে লাগল।

একটি আসন্ন বিপ্লবের অনুভূতি হৃদয়ে ছড়িয়ে পড়ল; মা চোখ বন্ধ করে ভাবনার ছক সাজালেন, আবার সফটওয়্যারে নানা গুণিতাংশ ঠিক করলেন।

ধীরে ধীরে, এক নতুন গণিতের পথ তার সামনে ফুটে উঠল; ভবিষ্যৎ অনিশ্চিত, কিন্তু পথ খুলে গেল, অপেক্ষা করছে তার অগ্রযাত্রার জন্য।

এখন দূর আবেলীয় জ্যামিতি আরও নির্ভুলভাবে ‘মা-র জ্যামিতি’ নামে অভিহিত করা যায়।

তিনি দূর আবেলীয় জ্যামিতির সেরা অংশ গ্রহণ করে কাঠামোতে বিপুল সংস্কার এনেছেন; এটি কেবল যোগ ও গুণ কাঠামোর সাদৃশ্য প্রকাশে সক্ষম নয়, বরং শক্তের বৈশিষ্ট্যও বর্ণনা করতে পারে।

এটি এক সম্পূর্ণ নতুন গণিত কাঠামো, যার নাম ‘মা-র জ্যামিতি’—নিশ্চিতভাবেই যথার্থ।

এবং মা উপলব্ধি করছেন, ধীরে ধীরে এই তত্ত্বে উপাদান যোগ করে ফাঁক ভরাট করলে, কেবল এবিসি অনুমানই নয়, যমজ মৌলিক সংখ্যা অনুমান, বরফপাত অনুমানসহ সংখ্যা তত্ত্বের বহু বিখ্যাত সমস্যা সমাধান সম্ভব।

তবে এখন এই তত্ত্ব বেশ অপরিপক্ব; মা কেবল একটি প্রাথমিক কাঠামো ভেবেছেন, তিনি জানেন না কত সময় লাগবে তা পূর্ণাঙ্গ করতে। তবে কম্পিউটার ও সফটওয়্যারের সাহায্যে এই লক্ষ্য অর্জন সহজ, কেবল সময়ের ব্যাপার।

তিনি তাড়াহুড়ো করেন না; স্নাতক শেষ করে, গবেষণায়, এমনকি সহস্রাব্দের পরেও কাজটি শেষ করা যাবে; তখন সহস্রাব্দের সাতটি বড় অনুমানের কিছু সমাধান সম্ভব, এবং তা স্বাভাবিকভাবে।

কিন্তু সঠিক উপকরণ হাতে থাকলে, আগে সমস্যার সমাধান, পরে উপকরণ উন্নত করা—এটাই সঠিক পদ্ধতি।

তাকে দ্রুত ফল দিতে হবে, এই শাখায় নিজের বিদ্যাগত দক্ষতা প্রতিষ্ঠা করতে হবে।